Um zu zeigen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, kann man eine bijektive Abbildung zwischen den rationalen Zahlen und den natürlichen Zahlen konstruieren. Eine Möglichkeit ist, die rationalen Zahlen als Brüche darzustellen und dann eine Methode zu verwenden, um jeden Bruch eindeutig einer natürlichen Zahl zuzuordnen. Eine solche Methode ist zum Beispiel das diagonale Zählen. **

Sind die rationalen Zahlen abgeschlossen? Ja, die rationalen Zahlen sind abgeschlossen unter Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, was bedeutet, dass das Ergebnis einer Operation mit rationalen Zahlen auch eine rationale Zahl ist. Dies liegt daran, dass das Verhältnis zweier ganzer Zahlen (Bruch) auch eine rationale Zahl ist. Allerdings sind die rationalen Zahlen nicht abgeschlossen unter der Wurzeloperation, da die Wurzel einer rationalen Zahl manchmal irrational sein kann. Insgesamt sind die rationalen Zahlen jedoch eine abgeschlossene Menge bezüglich der grundlegenden arithmetischen Operationen. **

Man kann die rationalen Zahlen in einem Gitter anordnen und dann eine Schlangenlinie ziehen, die alle Zahlen abdeckt. Durch diese Anordnung kann man jede rationale Zahl eindeutig einer natürlichen Zahl zuordnen. Somit ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich. **

In der Menge der rationalen Zahlen ist die Division nicht uneingeschränkt ausführbar. Es gibt Fälle, in denen eine rationale Zahl durch eine andere rationale Zahl geteilt wird und das Ergebnis eine irrationale Zahl ist, wie zum Beispiel bei der Division von 1 durch die Wurzel aus 2. **

Funktionen mit rationalen Exponenten sind Funktionen, bei denen der Exponent eine rationale Zahl ist, d.h. eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann. Diese Funktionen haben die Form f(x) = x^(p/q), wobei p und q ganze Zahlen sind. Sie können als Verallgemeinerung der Potenzfunktionen betrachtet werden, bei denen der Exponent eine natürliche Zahl ist. **

Um mit rationalen Zahlen zu rechnen, können wir die üblichen Rechenregeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verwenden. Bei der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen addieren bzw. subtrahieren wir die Zähler und behalten den gemeinsamen Nenner bei. Bei der Multiplikation multiplizieren wir die Zähler und die Nenner miteinander. Bei der Division multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. **

Um mit rationalen Zahlen zu rechnen, können wir die üblichen Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division anwenden. Bei der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen müssen wir die Vorzeichen beachten und gegebenenfalls gleichnamige Brüche addieren oder subtrahieren. Bei der Multiplikation multiplizieren wir einfach die Zähler und Nenner der Brüche miteinander. Bei der Division müssen wir den Kehrwert des Divisors bilden und dann die Multiplikationsregel anwenden. Es ist wichtig, die Regeln für den Umgang mit Brüchen zu kennen und anzuwenden, um korrekte Ergebnisse zu erhalten. **

Man kann elegant mit der geometrischen Reihe beweisen, dass die abzählbaren rationalen Zahlen kein volles Maß haben, indem man die rationalen Zahlen in einer bestimmten Weise anordnet und dann zeigt, dass die Summe der Längen der Intervalle um jede rationale Zahl endlich ist. Dies kann man tun, indem man die Intervalle um jede rationale Zahl so wählt, dass sie immer kleiner werden und sich gegenseitig ausschließen. Da die Summe der Längen dieser Intervalle endlich ist, können die rationalen Zahlen kein volles Maß haben. **